If m and p are positive integers and (m+p) m is even, which of the following must be true?

বিস্তারিত সমাধান:

দেওয়া আছে, \(m\) এবং \(p\) উভয়ই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (positive integers) এবং \((m+p)m\) রাশিটি একটি জোড় সংখ্যা (even number)।

আমরা জানি, দুটি সংখ্যার গুণফল জোড় হতে হলে অন্তত একটি সংখ্যাকে অবশ্যই জোড় হতে হবে। অর্থাৎ, \((m+p) \times m = \text{জোড়}\)।

এখন দুটি সম্ভাব্য ক্ষেত্র (Case) বিবেচনা করা যাক:

কেস-১: \(m\) বিজোড় (odd) হলে:
যদি \(m\) বিজোড় হয়, তবে গুণফল \((m+p)m\) জোড় হতে হলে অপর উৎপাদক \((m+p)\)-কে অবশ্যই জোড় (even) হতে হবে।
বিজোড় সংখ্যার সাথে বিজোড় সংখ্যা যোগ করলেই কেবল যোগফল জোড় হয় (\(\text{Odd} + \text{Odd} = \text{Even}\))।
যেহেতু \(m\) বিজোড়, তাই \((m+p)\) জোড় হতে হলে \(p\)-কেও অবশ্যই বিজোড় (odd) হতে হবে।
অতএব, "যদি \(m\) বিজোড় হয়, তবে \(p\) বিজোড় হবে" (If \(m\) is odd, then \(p\) is odd) — এটি অবশ্যই সত্য।

কেস-২: \(m\) জোড় (even) হলে:
যদি \(m\) জোড় হয়, তবে \(p\) জোড় বা বিজোড় যা-ই হোক না কেন, \((m+p)m\) গুণফলটি সর্বদা জোড় হবে (কারণ জোড় সংখ্যার সাথে যেকোনো পূর্ণসংখ্যা গুণ করলে গুণফল জোড় হয়)।
ফলে, \(m\) জোড় হলে \(p\)-এর মান নির্দিষ্ট করে জোড় বা বিজোড় কোনোটিই বলা বাধ্যতামূলক নয়।

অপশনসমূহ পর্যবেক্ষণ:

  
• If m is odd, then p is odd: এটি সর্বদা সত্য (কেস-১ অনুযায়ী)।
  
• If m is odd, then p is even: এটি ভুল, কারণ \(m\) বিজোড় এবং \(p\) জোড় হলে \((m+p)\) বিজোড় হতো, ফলে গুণফল বিজোড় হতো।
  
• If m is even, then p is even: এটি বাধ্যতামূলক সত্য নয়, কারণ \(m\) জোড় হলে \(p\) বিজোড় হলেও শর্তটি সিদ্ধ হয়।
  
• If m is even, then p is odd: এটিও বাধ্যতামূলক সত্য নয়, কারণ \(m\) জোড় হলে \(p\) জোড় হলেও শর্তটি সিদ্ধ হয়।